Pour ce faire, il est souhaitable de se placer provisoirement dans l'enveloppe affine de dom f. Par la proposition d'existence des fonctions affines minimisantes, on construit une forme affine sur ce sous-espace qui minore f sur l'intérieur relatif de dom f ; la minoration est encore vraie sur la frontière relative (on s'en aperçoit point par point en restreignant l'espace de départ à une droite passant par ce point), on prolonge enfin arbitrairement cette forme affine à ℝn tout entier en une forme affine, continue puisqu'on est en dimension finie, et qui minore partout f. Cette forme minore alors aussi les liminf qui construisent f prouvant qu'elles ne peuvent valoir –∞. − Alors : Un théorème analogue pour les fonctions décroissantes s'en déduit immédiatement en remplaçant f par –f. t U {\displaystyle f^{-1}(y)} C y y x est fortement convexe, de module α > 0 si, pour tous x1 et x2 dans dom f et tout t dans [0 ; 1], on a : f Définition 1 — Soient E un espace vectoriel (ou affine) réel et C un convexe de E. On dit qu'une fonction. On dit que f est[1] : Exemple : pour tout réel x, notons ici E(x) la partie entière de x (c'est l'unique entier relatif k tel que k ≤ x < k + 1). R On verra un peu plus bas que l'hypothèse de continuité est superflue en dimension finie (c'est une conséquence de la convexité). En revanche, la condition topologique sur U est indispensable, même en une seule variable : pour la fonction convexe Une fonction strictement monotone sur un intervalle I est injective, c'est-à-dire que deux éléments de I distincts ont des images distinctes. 2 { Réciproquement, si l'une des deux inégalités est vérifiée pour tous x1, x2 et x3 de I avec x1 < x2 < x3, alors f est convexe. f 1 + Soit E un espace vectoriel (ou affine) réel. {\displaystyle f(t\,x_{1}+(1-t)\,x_{2})\leq t\,f(x_{1})+(1-t)\,f(x_{2})-{\frac {\alpha }{2}}\,t(1-t)\|x_{1}-x_{2}\|^{2}.}. ∈ strictement croissante) sur I, il faut et il suffit que –f soit décroissante (resp. − 1 x L'inégalité de convexité permet d'étendre cette majoration à tout le simplexe, donc à un voisinage de x0. la forme linéaire continue qu'est la différentielle de f au point x. Stricte convexité et dérivées premières II — Soient E un espace vectoriel de dimension finie, ″ ( Dans le premier cas, on parle de fonction croissante et dans l'autre de fonction décroissante. (autrement dit, que la liminf servant à définir f ne vaut nulle part –∞) ce qui n'est pas évident. (qui peut être non linéaire) est appelé opérateur monotone si. est une fonction convexe de la variable réelle t ∈ [0 ; 1] (voir supra)[14]. Voici quelques exemples de constructions de fonctions convexes : Voici des exemples concrets de fonctions convexes ou concaves : Pour tout espace vectoriel topologique E de dimension infinie, il existe des fonctions convexes de domaine E qui ne sont pas continues : par exemple les formes linéaires non continues sur E. Cependant, une proportion significative de résultats valables pour des fonctions convexes d'une variable se reproduisent à l'identique pour des fonctions convexes sur une partie d'un espace vectoriel, soit qu'on se ramène pour les prouver à considérer la restriction de la fonction à une droite, soit que la démonstration soit une simple révision de la version à une variable. 2 La définition ci-dessus de la monotonie est également pertinente dans ces cas. R − Ω := R ) Elles jouent aussi un rôle singulier en optimisation, en supprimant la distinction entre minima locaux et globaux (tout minimum local d'une fonction convexe est un minimum global). infra), car elle est constante sur chaque intervalle [i , i + 1[ d'extrémités entières. f < B := n + L'inégalité de la définition s'étend comme suit (on peut le démontrer par récurrence sur l'entier p[6] ou par le même argument que dans la proposition ci-dessus[7]. T Remarque 1 : pour qu'une fonction f soit croissante (resp. 2 x E x sur [–1 ; 1] (dont le graphe est un demi-cercle) et x0 = 1, on ne peut trouver de fonction affine minorante au sens de la proposition précédente. 1 si x < y alors f(x) < f(y),si x > y alors f(x) > f(y), ( ou d’applications bilinéaires de la forme . Lorsqu'on ne fait porter l'hypothèse que sur les milieux, elle s'étend aux isobarycentres : Lemme[1] — Si f vérifie la condition suivante pour p = 2, alors elle la vérifie pour tout entier p ≥ 2 : Le « principe de récurrence alternatif » suivant démontre ce lemme. ) La fonction ministérielle est devenue un galon, une étoile ou plutôt une brisque comme les militaires en connaissent et qui rappelle une campagne. La définition 2 est plus récente que la définition 1 et fut introduite indépendamment par Rockafellar et Moreau[16]. Néanmoins il est possible de la rendre continue par un procédé simple : si f est convexe sur un intervalle [a, b], alors nécessairement la limite à droite f +(a) de f en a existe et est inférieure ou égale à la valeur f(a). ( Cet hyperplan ne peut contenir la droite , La fonction f est alors caractérisée par l'une au choix des trois propriétés suivantes : Le fait que f est semi-continue inférieurement et la propriété (3) sont vrais sans utiliser l'hypothèse de convexité de f, et sont de simples exercices de topologie élémentaire. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes : Un résultat analogue permet de caractériser la stricte convexité d'une fonction. 2) De nouvelles formules de dérivation (dérivée d’une composée) ∞ x = : Définition — Une fonction f d'un intervalle I de ℝ vers ℝ est dite strictement convexe lorsque, pour tous x1 et x2 distincts dans I et tout t dans ]0 ; 1[, on a : Les résultats énoncés plus haut pour des fonctions convexes s'adaptent généralement sans mal aux fonctions strictement convexes. (où il existe q 2]0,1[ tel que La convexité de f peut sembler claire, puisque son épigraphe est convexe comme adhérence d'un convexe, mais il y a ici un piège ! de f : il est convexe par convexité de f, ouvert dans Soit f une fonction convexe définie sur l'ouvert convexe C, et soit x0 un point de C. On va dans un premier temps montrer que f est localement bornée. Par les propriétés supposées de K, l'ensemble des fonctions K-convexes est un cône convexe de l'ensemble des fonctions de E dans F (parce que K est un cône convexe), contenant les fonctions affines (parce que K est pointé). ) → On déduit de la seconde caractérisation : Corollaire[13] — Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I. f est convexe si et seulement si sa dérivée seconde f '' est à valeurs positives ou nulles. K − R 1 ∣ Or pour une fonction monotone, le théorème de la limite monotone dit exactement que ce type de discontinuité est le seul possible. : La transformée de Legendre, formulation mathématique qui représente une fonction convexe par l'ensemble de ses tangentes, permet le développement de méthodes de linéarisation[27]. f La discontinuité de f en la borne a se produit alors dans le cas où f +(a) < f(a). Plus précisément : On a une propriété analogue pour les fonctions strictement monotones. lim inf car il ne contient pas (x0 , f(x0) + 1) par exemple. l'ensemble Il existe donc dans I deux réels a < b tels que f(a) < f(b) n'ait pas lieu. On dispose de deux caractérisations[11] : Proposition — Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. ∪ x ≤ Si l'on écrit successivement alors les inégalités de convexité correspondant à la représentation de x1 comme un point du segment − ( = f ( x Certaines applications monotones remarquables sont les plongements d'ordres (applications pour lesquelles x ≤ y si et seulement si f(x) ≤ f(y)) et les isomorphismes d'ordre (les plongements d'ordres qui sont surjectifs). ( {\displaystyle f(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}} 1 + ∪ au sens de la définition 2, l'ensemble C := dom f est un convexe et la restriction de f à C est une fonction convexe au sens de la définition 1. − Oral Bac - Sens de variation et limite d'une fonction avec logarithme 2 , En d'autres termes, une fonction f est concave si son opposée –f est convexe. Une telle fonction de E dans X entre deux espaces topologiques est dite monotone si chacune de ses fibres est connexe c'est-à-dire que pour tout × x {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, Princeton University Press, 1970, 451 p. (ISBN 978-0-691-01586-6, lire en ligne). 1 {\displaystyle f:E\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} décroissante si et seulement si pour tout, Ce théorème se généralise aux fonctions continues sur un intervalle mais dérivables seulement sur le complémentaire d'un sous-. : y E 2 2 y ∗ f , Le « lemme des trois cordes » permet de montrer que[10] : Théorème — Si I est un intervalle ouvert et si f : I → ℝ est convexe alors : On démontre par ailleurs (voir infra) que f est aussi localement lipschitzienne. X {\displaystyle f:E\to \mathbb {R} } {\displaystyle \operatorname {dom} f\subset \mathbb {R} ^{n}} Dans cette première section, on va supposer que l'ensemble de départ est un intervalle réel I. Cette restriction permet de fournir une première initiation aux fonctions convexes d'abord plus aisée et parce que la possibilité de tracer des représentations graphiques planes facilite certainement la tâche, ensuite et surtout parce que les concepts de continuité ou dérivabilité sont significativement plus maniables pour les fonctions d'une seule variable. ↦ 1 Par exemple pour rechercher la primitive de la fonction composée f(g(x)) on pose souvent le changement de variable u=g(x), mais ce n'est pas systématique comme nous allons le voir dans les exemples ci-dessous. Théorème — Soit f une fonction convexe de domaine effectif Le fait que f coïncide avec f sur l'intérieur relatif de dom f provient de la continuité de la restriction de f à cet intérieur relatif, en tant que fonction convexe sur un convexe ouvert (relativement à son enveloppe affine). En effet, si x, y sont deux éléments de I distincts on a (en supposant par exemple f strictement croissante) → ) est dite propre[15]. x Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. ) Soient ]a, b[ un intervalle ouvert (borné ou non) et une fonction croissante f : ]a, b[ → ℝ. ∈ ∪ × D'après le lien entre monotonie et signe de la dérivée, une fonction f deux fois dérivable est donc strictement convexe si et seulement si f'' est positive et ne s'annule que sur un ensemble d'intérieur vide. 2 ) Si le cône K est également saillant, il induit sur f un ordre partiel, noté ≤K et défini par, y { − Exemples : soit n un entier strictement positif. Elle permet de définir une fonction convexe comme un seul « objet » (une fonction définie sur un espace vectoriel ayant une propriété bien particulière) et non comme un couple formé d'un ensemble convexe d'un espace vectoriel et d'une fonction à valeurs réelles définie sur cet ensemble convexe. . ( : ( Rappelons que la réciproque du second point est fausse (voir supra). En homogénéisation, par exemple, les théories de type variationnel permettent d'estimer les solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques grâce à la représentation des potentiels énergétiques par transformée de Legendre. t sur un espace vectoriel topologique Si cet aspect graphique est immédiatement parlant, ce n'est cependant pas la seule forme sous laquelle la propriété de monotonie se révèle : une fonction monotone est une fonction qui a toujours le même effet sur la relation d'ordre. 1 t Une fois qu'on a compris qu'il est vain de vouloir modifier une fonction convexe f sur la frontière de son domaine de définition jusqu'à la rendre continue, on peut néanmoins choisir un jeu de valeurs sur cette frontière plus remarquable que les autres, en exigeant que le prolongement soit à la fois semi-continu inférieurement (ce qui nécessite de choisir des valeurs faibles) et convexe (ce qui nécessite de les prendre fortes). x , ∞ ) {\displaystyle X} {\displaystyle T:X\rightarrow X^{*}} Il n’y a pas vraiment de démonstration à faire ici. 2 , x 1 f } On dit qu'une fonction Autrement dit : f est convexe si sa « restriction » t ↦ f(tA + (1 – t)B) à tout segment f Il ne faut en effet pas oublier de vérifier que f prend ses valeurs dans En analyse fonctionnelle, un opérateur ) {\displaystyle \{x_{0}\}\times \mathbb {R} } La fonction f est appelée la fermeture de f. Les fonctions convexes égales à leur fermeture sont appelées des fonctions convexes fermées ; dit autrement ce sont les fonctions convexes dont l'épigraphe est fermé, ou encore autrement dit ce sont les fonctions convexes semi-continues inférieurement[26]. + D'après la remarque 2, il existe un intervalle non trivial sur lequel f est constante ; sur un tel intervalle, f' est nulle. ∣ , Proposition — Soit E un espace vectoriel topologique, f une fonction convexe et continue définie sur un ouvert convexe non vide U de E et x0 un point de U. Il existe alors une fonction affine continue qui minore f et qui coïncide avec elle en x0. t R ⁡ {\displaystyle y} t M ) On peut donner au moins deux définitions légèrement différentes d'une fonction convexe de plusieurs variables réelles (ou plus généralement : d'une variable vectorielle), qui reviennent essentiellement au même mais ne fournissent néanmoins pas exactement les mêmes fonctions. R n Alors f(b) ≤ f(a) et pour tout x ∈ [a, b], par croissance de f, f(a) ≤ f(x) ≤ f(b), donc f(b) ≤ f(x) ≤ f(b), ce qui prouve que f est constante sur [a, b]. Limite d'une composée avec la fonction exponentielle Une fonction \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) a pour tableau de variations: 1) Déterminer le tableau de variations de la fonction \(e^u\). f ⟺ f On vérifie alors assez facilement que f est L-lipschitzienne sur la boule ouverte B1 de centre x0 et de rayon δ, où l'on pose : Pour cette vérification, soit x1 et x2 distincts dans B1. t Détail : dans le sens direct : si f' s'annule sur un intervalle non trivial alors f est constante sur cet intervalle donc n'est pas strictement monotone. 4.Les différentes formes indéterminées et les règles de calcul des limites du produit, du quotient, de la somme et de la composée de deux fonctions. de plus, l'ensemble des points où sa dérivée s'annule est. x ( Retiens bien ce qui suit car on se sert très souvent de la limite, notamment dans les études de fonctions. La définition 2 est la plus communément utilisée en analyse convexe, pour les raisons suivantes : d'une part, elle allège souvent l'expression des résultats et, d'autre part, elle permet de ne pas devoir préciser le convexe sur lequel est définie une fonction convexe obtenue par l'une des constructions standards de l'analyse convexe, comme l'enveloppe supérieure, la fonction d'appui, la fonction marginale, la fonction conjuguée, la fonction duale en optimisation, etc. x Une application → parce que U est ouvert et f continue, et d'autre part le singleton L = {(x0 , f(x0))} . Dans un espace vectoriel topologique, une fonction qui vérifie l'inégalité de convexité pour les seuls milieux et qui est continue est convexe. ⚠️ Il n’y a aucun théorème sur les limites de produit de suites de vecteurs, ces produits n’étant pas définis en général. Intuitivement (voir les figures ci-contre), la représentation graphique d'une fonction monotone sur un intervalle est une courbe qui « monte Â» constamment ou « descend Â» constamment. R 2.La notion de monotonie d’une fonction. t 1 Y } Les deux transformations sont réciproques l'une de l'autre : les deux définitions, quoique techniquement distinctes, décrivent bien la même notion. La dernière modification de cette page a été faite le 25 novembre 2020 à 21:19. ( {\displaystyle f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\in tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})-K.}. 1 Réciproquement supposons que f est monotone mais pas strictement. : De même que les fonctions dérivables convexes sont celles qui ont une dérivée croissante, les fonctions dérivables strictement convexes sont celles qui ont une dérivée strictement croissante. Pour une fonction croissante, l'ordre qui existe entre deux variables se retrouve dans l'ordre de leurs images, pour une fonction décroissante, l'ordre des images est inversé par rapport à l'ordre des antécédents. On note Le théorème de Kachurovskii (en) montre que les dérivées des fonctions convexes sur les espaces de Banach sont des opérateurs monotones. Par exemple, considérons une application f d'un ensemble ordonné (A, ≤A) dans un ensemble ordonné (B, ≤B). On peut aussi introduire une notion de convexité pour les fonctions à valeurs vectorielles, pourvu que l'on se donne un cône dans l'espace d'arrivée de la fonction. ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\ (x,y)\mapsto \max(x,0)} ) Limites et continuité - Cours (FR) (part 13: calculer la limite d'une fonction composée) Limites et continuité - Cours (FR) (part 14: calculer la limite d'une fonction à l'aide du théorème de comparaison) x ( (qui peut être vide) est connexe. ∞ ∞ ′ Ainsi, on peut désormais facilement ajouter à sa collection de fonctions convexes (ou concaves) les exemples suivants : En faisant intervenir des inégalités strictes, on dispose d'une variante de la convexité : la stricte convexité. − Soit alors δ un réel strictement positif assez petit pour que f prenne des valeurs plus petites que M (et donc plus grandes que 2f(x0) – M sur la boule ouverte B2 de centre x0 et de rayon 2δ. y K → Il suffit de remplacer les inégalités ci-dessus par des inégalités strictes et de supposer que les points d'évaluation x et y diffèrent. : une fonction différentiable. Cette propriété n’est en fait que la traduction visuelle de la définition que nous avons donnée d’une fonction convexe.   Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes : On note ) 1 t ce qui rappelle l'inégalité de convexité familière. ( ∪ Propriétés : ( ) 0 ln 1 lim 1 x x → x + = Démonstration : La fonction ln est dérivable en 1 et ln'(1)=1. En première S, on a donné un certain nombre de formules donnant directement la dérivée d’une fonction sans avoir à revenir à la limite en adu rapport f(x)−f(a) x−a. ⊂ R × [ une fonction différentiable. − I x La dernière modification de cette page a été faite le 13 janvier 2021 à 16:59. On vérifie aussitôt ce qui suit, reliant les notions d'ensemble convexe et de fonction convexe : Remarque — La fonction f est convexe sur I si et seulement si son épigraphe + Toutes les valeurs comprises entre 0 et 2 sont d'ailleurs valeurs d'adhérence de f au point (0, –1) et il est définitivement illusoire d'espérer rendre cette f continue en modifiant ses valeurs sur le bord[24]. On constate en effet que si on tend radialement vers ce point, la fonction étant nulle sur le rayon, f(0, y) tend vers 0 ; mais un calcul facile permet de constater que, si on tend vers f(0, –1) le long du cercle frontière de C, f(x, y) tend vers 2. Ce concept est tout d'abord apparu en analyse réelle pour les fonctions numériques et a été généralisé ensuite dans le cadre plus abstrait de la théorie des ordres. ∞ 1 strictement décroissante) sur I. Remarque 2 : pour qu'une fonction monotone f de I dans ℝ ne le soit pas strictement, il faut (et bien sûr il suffit) que I contienne un intervalle non trivial (c'est-à-dire non vide et non réduit à un point) sur lequel f est constante. Une autre application classique concerne les fonctions de répartition des variables aléatoires réelles. ≥ } y ) R − {\displaystyle C=\{(x,y)\in U\times \mathbb {R} \,\mid \,f(x) Pour Ne Pas Vivre Seul On Vit Avec Un Chien, Ou Est Lhiver, Suez Pays Et Continent, Melissa And Joey Leaving Hulu, Changer Navigateur Par Défaut Miui 12, Samsung S8 En Chinois, Règle échec à Imprimer,